Equivalence Relation

关于同一性的讨论

出发点

在这里我要用更普遍的例子来讲数学中的商这个抽象概念.

日常例子

亲缘关系

定义

我在这里要定义一种亲缘关系, 不用奉为圭臬, 我只是用这个方法或者说途径告诉大家商是怎么做出来的.

上图遵从了传统的继承父姓的原则, 只是便于理解, 不代表不存在继承母姓, 不代表不允许继承母姓.

上面这张图只给出了父子关系和母子关系, 现在我们加上夫妻关系, 就意味着李1与王1之间存在连线, 章1与赵1之间存在连线, 钱1与孙1之间存在连线,

李2与章2之间存在连线.

现在开始下一步, 连续地使用上面三种关系,

• 从李1如何到达李3: 李1--李2: 父子; 李2--李3: 父子
• 从李1如何到达赵1: 李1--李2: 父子; 李2--章2: 夫妻; 章2--赵1: 母子

也就是说通过上面三种关系能够抵达的任意两个人, 我们说这两个人之间存在亲缘关系, 那这里就有人要说了, 追溯到祖上, 每个人的祖先都是刚走出非洲丛林的亚当和夏娃, 就都是一家人了, 所以在这里要约束一个条件, 还在世的人, 能够通过这种方式构造一个亲缘关系的, 我们才叫这两个人存在某种亲缘关系.

家族

现在给出家族的定义, 任意两个人, 如果之间存在亲缘关系, 那么属于同一个家族.

在这里要开始下一步了, 这里给出一个结论, 不存在一个人同时属于两个家族. 大家可以想一想为什么, 如果你看出来了这句话跟之前定义的内在一致性, 那么下一段就可以跳过.

这里有两个家族: 李氏氏族与赵氏氏族, 加入有某个人张三同时属于两个家族, 那么对于任意一个李氏氏族的人, 存在一条关系叠加关系的路径抵达张三, 同时对于任意一个赵氏氏族的人, 也存在一条路径, 那么通过张三把这两路径连接起来, 我们可以说对任意一个李氏氏族的人和一个赵氏氏族的人, 存在一条关系叠加关系的路径, 也就是说, 这两个人之间存在亲缘关系.

关于版权

上面的例子有点复杂, 我换一个例子, 同一个实体, 可以是公司, 可以是个人, 拥有版权的出版物之间的关系. 就是说, 任意两个出版物, 他们之间的关系由他们的拥有者是否是同一个所决定.

关于价位

$[0-100)$是一个区间, $[100,1000)$是一个区间, $[1000,10000)$是一个区间, $[10000,+\infty)$是一个区间, 当然在这里区间怎么划分不重要, 重要是, 通过这个区间划分, 我们得到了两个商品之间的关系. 即价位相同.

各种标签

上面两个关于版权和价位的过程, 这里俗称贴一种标签, 就是给事物贴上一个不可能同时具有的标签的过程.

当然我们可以给一本书同时贴上版权和价位的标签, 但是他们是两种标签, 在同一种标签下, 一本确定的, 实实在在在货架上售卖的书, 是不可能有两个标价的.

等价关系

上面举了很多例子, 目的是告诉大家, 数学中的某些概念, 并不是不存在日常生活中, 把数学视为空中楼阁是不正确的看法.

现在我引用一下一般的对于等价关系的定义

关系

对于一个集合$X$, $X\times X$是一个新集合, 即 $R := \{(a, b)|a, b \in X\}$

那么对于$R$来说, 任意一个$R$的子集规定了一种二元关系.

对于某个关系$R$, 如果$(a,b)\in R$, 我们记作$aRb$

等价关系

首先等价关系$E$是一种关系$R$, 满足以下条件:

• 反身性: $aRa$
• 对称性: 如果$aRb$, 那么$bRa$
• 传递性: 如果$aRb$且$bRc$, 那么$aRc$

数学例子

这里举两个例子

数论上的同余等价类

拓扑上的商空间

相似与不同